一种难找的珍珠——魅力无穷的完全数

1 2 下一页 公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。6是人们最先认识的完全数。
　　
　　发现完全数
　　
　　研究数字的先师发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”
　　
　　古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。
　　
　　约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：“如果2n－1是一个素数，那么自然数2n-1一定是一个完全数。”并给出了证明。
　　
　　公元1世纪，学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。
　　
　　千年跨一步
　　
　　完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。
　　
　　后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振。
　　
　　直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。
　　
　　光阴似箭，1460年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。这比起第四个完全数8128大了4000多倍。跨度如此之大，在计算落后的古代可想发现者之艰辛了，但是，手稿里没有说明他用什么方法得到的，又没有公布自己的姓名，这更使人迷惑不解了。
　　
　　发现非一帆风顺
　　
　　在无名氏成果鼓励下，15至19世纪是研究完全数不平凡的日子，其中17世纪出现了小高潮。
　　
　　16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头，落下了口吃的疾患，后来靠自学成为一位著名数学家。他研究发现：当n＝2和n=3至39的奇数时，2n-1(2n-1)是完全数。
　　
　　17世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中，一口气列出了28个所谓“完全数”，他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程，后人发现其中有许多是错误的。
　　
　　1603年，数学家克特迪历尽艰辛，终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的，同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216(217-1)和218(219-1)，但他又错误地认为222(223-1)、228（229-1）和236（237-1）也是完全数。这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了。
　　
　　1644年，法国神甫兼大数学家梅森指出，庞格斯给出的28个“完全数”中，只有8个是正确的，即当n＝2，3，5，7，13，17，19，31时，2n-1(2n-1)是完全数，同时又增加了n＝67，127和257。
　　
　　在未证明的情况下他武断地说：当n≤257时，只有这11个完全数。这就是著名的“梅森猜测”。
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