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2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)文科数学(word版,含答案)

2020-04-20 03:18:07


绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
  1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
  2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
  3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设,则=
A.2 B. C. D.1
2.已知集合,则
A. B. C. D.
3.已知,则
A. B. C. D.
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的"断臂维纳斯"便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为,头顶至脖子下端的长度为26 ,则其身高可能是

A.165  B.175  C.185  D.190 
5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为
A. B.
C. D.
6.某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,...,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是
A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
7.t255°=
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
8.已知非零向量a,b满足=2,且(a-b)b,则a与b的夹角为
A.  B.  C.  D. 
9.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入

A.A= B.A= C.A= D.A=
10.双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为
A.2s40° B.2cos40° C. D.
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asA-bsB=4csC,cosA=-,则=
A.6 B.5 C.4 D.3
12.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点处的切线方程为___________.
14.记Sn为等比数列{}的前n项和.若,则S4=___________.
15.函数的最小值为___________.
16.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60分。
17.(12分)
某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:.
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18.(12分)
记Sn为等差数列{}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥的n的取值范围.
19.(12分)
如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
  
(1)证明:∥平面C1DE;
(2)求点C到平面C1DE的距离.
20.(12分)
已知函数f(x)=2sx-xcosx-x,f ′(x)为f(x)的导数.
(1)证明:f ′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
21.(12分)
已知点A,B关于坐标原点O对称,│AB│ =4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,│MA│-│MP│为定值?并说明理由.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4?4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
23.[选修4?5:不等式选讲](10分)
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1);
(2).















   2019年普通高等学校招生全国统一考试
   文科数学·参考答案
一、选择题
1.C 2.C  3.B 4.B 5.D 6.C
7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.B
二、填空题
13.y=3x  14. 15.?4 16.
三、解答题
17.解:
(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
(2).
由于,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18.解:
(1)设的公差为d.
由得.
由a3=4得.
于是.
因此的通项公式为.
(2)由(1)得,故.
由知,故等价于,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是.
19.解:
(1)连结.因为M,E分别为的中点,所以,且.又因为N为的中点,所以.
由题设知,可得,故,因此四边形DE为平行四边形,.又平面,所以∥平面.
     (2)过C作C1E的垂线,垂足为H.
     由已知可得,,所以DE⊥平面,故DE⊥CH.
     从而CH⊥平面,故CH的长即为C到平面的距离,
     由已知可得CE=1,C1C=4,所以,故.
     从而点C到平面的距离为.
     
20.解:
     (1)设,则.
当时,;当时,,所以在单调递增,在单调递减.
     又,故在存在唯一零点.
     所以在存在唯一零点.
     (2)由题设知,可得a≤0.
由(1)知,在只有一个零点,设为,且当时,;当时,,所以在单调递增,在单调递减.
     又,所以,当时,.
     又当时,ax≤0,故.
     因此,a的取值范围是.
21.解:(1)因为过点,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上,且关于坐标原点O对称,所以M在直线上,故可设.
     因为与直线x+2=0相切,所以的半径为.
     由已知得,又,故可得,解得或.
     故的半径或.
     (2)存在定点,使得为定值.
     理由如下:
     设,由已知得的半径为.
     由于,故可得,化简得M的轨迹方程为.
     因为曲线是以点为焦点,以直线为准线的抛物线,所以.
     因为,所以存在满足条件的定点P.
22.解:(1)因为,且,所以C的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,).
C上的点到的距离为.
当时,取得最小值7,故C上的点到距离的最小值为.
23.解:(1)因为,又,故有
.
所以.
(2)因为为正数且,故有



=24.
所以.