2014年高考真题——文科数学（福建卷） 精校版含答案
2023-12-05 01:08:38
2014年福建文科卷
一．选择题
1. 若集合则等于 （ ）
2. 复数等于 （ ）
3. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为 （ ）
5. 命题""的否定是 （ ）
6. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是 （ ）
7. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）
8. 若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）
9. 要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）
10. 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 （ ）
11. 已知圆，设平面区域，若圆心,且圆C与x轴相切，则的最大值为 （ ）
12. 在平面直角坐标系中，两点间的"L-距离"定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的"L-距离"之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是 （ ）
二、填空题
13、 如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________
14、 在中，,则等于_________
15、 函数的零点个数是_________
16. 已知集合，且下列三个关系：???有且只有一个正确，则
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17.（本小题满分12分）
在等比数列中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱锥中，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，为中点，求三棱锥的体积.
20. （本小题满分12分）
根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.
21. （本小题满分12分）
已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点。以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.
22.（本小题满分12分）
已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在，使得当时，恒有
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文科）答案
一．选择题
ABABCDDBCDCA
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17. (1)设的公比为q，依题意得
，
解得，
因此，.
（2）因为，
所以数列的前n项和.
18.解法一：（1）
（2）因为
.
所以.
由，
得，
所以的单调递增区间为.
解法二：
因为
（1）
（2）
由，
得，
所以的单调递增区间为.
19.
（1）∵平面BCD，平面BCD，
∴.
又∵，，
平面ABD，平面ABD，
∴平面.
（2）由平面BCD，得.
∵，∴.
∵M是AD的中点，
∴.
由（1）知，平面ABD，
∴三棱锥的高，
因此三棱锥的体积
.
解法二：
（1）同解法一.
（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，
又平面ABD平面BCD=BD，
如图，过点M作交BD于点N.
则平面BCD，且，
又，
∴.
∴三棱锥的体积
.
20.（1）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为
因为，
所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.
（2）"从5个行政区中随机抽取2个"的所有的基本事件是：
共10个，
设事件"抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准"为M，
则事件M包含的基本事件是：，共3个，
所以所求概率为.
21.（1）设为曲线上任意一点，
依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，
所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：
由（1）知抛物线的方程为，
设，则，
由，得切线的斜率
，
所以切线的方程为，即.
由，得.
由，得.
又，所以圆心，
半径，
.
所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.
解法二：
（1）设为曲线上任意一点，
则，
依题意，点只能在直线的上方，所以，
所以，
化简得，曲线的方程为.
（2）同解法一.
22.（1）当时，有极小值，无极大值.
（2）见解析.（3）见解析.
解法一：
（1）由，得.
又，得.
所以，.
令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当时，有极小值，
且极小值为，
无极大值.
（2）令，则.
由（1）得，，即.
所以在R上单调递增，又，
所以当时，，即.
（3）对任意给定的正数c，取，
由（2）知，当时，.
所以当时，，即.
因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
解法二：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）令，要使不等式成立，只要成立.
而要使成立，则只需，即成立.
①若，则，易知当时，成立.
即对任意，取，当时，恒有.
②若，令，则，
所以当时，，在内单调递增.
取，
，
易知，，所以.
因此对任意，取，当时，恒有.
综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
解法三：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）①若，取，
由（2）的证明过程知，，
所以当时，有，即.
②若，
令，则，
令得.
当时，，单调递增.
取，
，
易知，又在内单调递增，
所以当时，恒有，即.
综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
注：对c的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。
一．选择题
1. 若集合则等于 （ ）
2. 复数等于 （ ）
3. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为 （ ）
5. 命题""的否定是 （ ）
6. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是 （ ）
7. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）
8. 若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）
9. 要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）
10. 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 （ ）
11. 已知圆，设平面区域，若圆心,且圆C与x轴相切，则的最大值为 （ ）
12. 在平面直角坐标系中，两点间的"L-距离"定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的"L-距离"之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是 （ ）
二、填空题
13、 如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________
14、 在中，,则等于_________
15、 函数的零点个数是_________
16. 已知集合，且下列三个关系：???有且只有一个正确，则
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17.（本小题满分12分）
在等比数列中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱锥中，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，为中点，求三棱锥的体积.
20. （本小题满分12分）
根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.
21. （本小题满分12分）
已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点。以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.
22.（本小题满分12分）
已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在，使得当时，恒有
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文科）答案
一．选择题
ABABCDDBCDCA
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17. (1)设的公比为q，依题意得
，
解得，
因此，.
（2）因为，
所以数列的前n项和.
18.解法一：（1）
（2）因为
.
所以.
由，
得，
所以的单调递增区间为.
解法二：
因为
（1）
（2）
由，
得，
所以的单调递增区间为.
19.
（1）∵平面BCD，平面BCD，
∴.
又∵，，
平面ABD，平面ABD，
∴平面.
（2）由平面BCD，得.
∵，∴.
∵M是AD的中点，
∴.
由（1）知，平面ABD，
∴三棱锥的高，
因此三棱锥的体积
.
解法二：
（1）同解法一.
（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，
又平面ABD平面BCD=BD，
如图，过点M作交BD于点N.
则平面BCD，且，
又，
∴.
∴三棱锥的体积
.
20.（1）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为
因为，
所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.
（2）"从5个行政区中随机抽取2个"的所有的基本事件是：
共10个，
设事件"抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准"为M，
则事件M包含的基本事件是：，共3个，
所以所求概率为.
21.（1）设为曲线上任意一点，
依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，
所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：
由（1）知抛物线的方程为，
设，则，
由，得切线的斜率
，
所以切线的方程为，即.
由，得.
由，得.
又，所以圆心，
半径，
.
所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.
解法二：
（1）设为曲线上任意一点，
则，
依题意，点只能在直线的上方，所以，
所以，
化简得，曲线的方程为.
（2）同解法一.
22.（1）当时，有极小值，无极大值.
（2）见解析.（3）见解析.
解法一：
（1）由，得.
又，得.
所以，.
令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当时，有极小值，
且极小值为，
无极大值.
（2）令，则.
由（1）得，，即.
所以在R上单调递增，又，
所以当时，，即.
（3）对任意给定的正数c，取，
由（2）知，当时，.
所以当时，，即.
因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
解法二：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）令，要使不等式成立，只要成立.
而要使成立，则只需，即成立.
①若，则，易知当时，成立.
即对任意，取，当时，恒有.
②若，令，则，
所以当时，，在内单调递增.
取，
，
易知，，所以.
因此对任意，取，当时，恒有.
综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
解法三：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）①若，取，
由（2）的证明过程知，，
所以当时，有，即.
②若，
令，则，
令得.
当时，，单调递增.
取，
，
易知，又在内单调递增，
所以当时，恒有，即.
综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
注：对c的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。
