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2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数 学(文史类)
本试题卷共5页,22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2014・湖北卷] 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则?UA=( )
A.{1,3,5,6} B.{2,3,7}
C.{2,4,7} D.{2,5,7}
1.C [解析] 由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7},得?UA={2,4,7}.故选C.
2.[2014・湖北卷] i为虚数单位,=( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
2.B [解析] ===-1.故选B.
3.[2014・湖北卷] 命题"?x∈R,x2≠x"的否定是( )
A.?x∈/R,x2≠x B.?x∈R,x2=x
C.?x0∈/R,x≠x0 D.?x0∈R,x=x0
3.D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词,然后否定结论,故命题"?x∈R,x2≠x"的否定是"?x0∈R,x=x0". 故选D.
4.[2014・湖北卷] 若变量x,y满足约束条件则2x+y的最大值是( )
A.2 B.4 C.7 D.8
4.C [解析] 作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示.
设z=2x+y,平移直线2x+y=0,易知在直线x+y=4与直线x-y=2的交点A(3,1)处,z=2x+y取得最大值7. 故选C.
5.[2014・湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )
A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3
C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2
5.C [解析] 掷出两枚骰子,它们向上的点数的所有可能情况如下表:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
则p1=,p2=,p3=.故p1
6.[2014・湖北卷] 根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
-3.0
得到的回归方程为\s\up6(^(^)=bx+a,则( )
A.a>0,b<0 B.a>0,b>0
C.a<0,b<0 D.a<0,b>0
6.A [解析] 作出散点图如下:
由图像不难得出,回归直线\s\up6(^(^)=bx+a的斜率b<0,截距a>0,所以a>0,b<0.故选A.
图1-1
7.[2014・湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图1-2
A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②
7.D [解析] 由三视图可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图是一个斜三角形,三个顶点坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②.故选D.
8.、[2014・湖北卷] 设a,b是关于t的方程t2cos θ+ts θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.A [解析] 由方程t2cos θ+ts θ=0,解得t1=0,t2=-t θ,不妨设点A(0,0),B(-t θ,t2θ),则过这两点的直线方程为y=-xt θ,该直线恰是双曲线-=1的一条渐近线,所以该直线与双曲线无公共点.故选A.
9.、[2014・湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}
9.D [解析] 设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x .
求函数g(x)=f(x)-x+3的零点等价于求方程f(x)=-3+x的解.
当x≥0时,x2-3x=-3+x,解得x1=3,x2=1;
当x<0时,-x2-3x=-3+x,解得x3=-2-.故选D.
10.[2014・湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求"锔"的术"置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A. B. C. D.
10.B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r,底面积为S,则L=2πr.由题意得L2h≈Sh,代入S=πr2化简得π≈3.类比推理,若V≈L2h时,π≈.故选B.
11.[2014・湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.
11.1800 [解析] 设乙设备生产的产品总数为n,则=,解得n=1800.
12.、[2014・湖北卷] 若向量\s\up6(→(→)=(1,-3),
|\s\up6(→(→)|=|\s\up6(→(→)|,\s\up6(→(→)・\s\up6(→(→)=0,则|\s\up6(→(→)|=________.
12.2 [解析] 由题意知,\s\up6(→(→)=(3,1)或OB=(-3,-1),所以AB=OB-OA=(2,4)或AB=(-4,2),所以==2 .
13.[2014・湖北卷] 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=________.
13.或 [解析] 由正弦定理得=,即=,解得s B=.又因为b>a,所以B=或.
14.[2014・湖北卷] 阅读如图1-3所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为 9,则输出S的值为________.
图1-3
14.1067 [解析] 第一次运行时,S=0+21+1,k=1+1;
第二次运行时,S=(21+1)+(22+2),k=2+1;
......
所以框图运算的是S=(21+1)+(22+2)+...+(29+9)=1067.
15.[2014・湖北卷] 如图1-4所示,函数y=f(x)的图像由两条射线和三条线段组成.
若?x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为________.
图1-4
15. [解析] "?x∈R,f(x)>f(x-1)"等价于"函数y=f(x)的图像恒在函数y=f(x-1)的图像的上方",函数y=f(x-1)的图像是由函数y=f(x)的图像向右平移一个单位得到的,如图所示.因为a>0,由图知6a<1,所以a的取值范围为.
16.[2014・湖北卷] 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时.
16.(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知,l>0,v>0,所以当l=6.05时,
F==≤=1900,当且仅当v=11时,取等号.
(2)当l=5时,
F==≤2000,
当且仅当v=10时,取等号,此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.
17.[2014・湖北卷] 已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有=λ,则
(1)b=________;
(2)λ=________.
17.(1)- (2) [解析] 设点M(cos θ,s θ),则由=λ得(cos θ-b)2+s2θ=λ2,即-2bcos θ+b2+1=4λ2cos θ+5λ2对任意的θ都成立,所以又由=λ,得λ>0,且b≠-2,解得
18.、、、[2014・湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-st,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度;
(2)求实验室这一天的最大温差.
18.解:(1)f(8)=10-cos-s=10-cos-s=10-×-=10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f(t)=10-2=10-2s,
又0≤t<24,
所以≤t+<,所以-1≤s≤1.
当t=2时,s=1;
当t=14时,s=-1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
19.、、[2014・湖北卷] 已知等差数列{}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{}的通项公式.
(2)记Sn为数列{}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
19.解:(1)设数列{}的公差为d,
依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),
化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4,
当d=0时,=2;
当d=4时,=2+(n-1)・4=-2,
从而得数列{}的通项公式为=2或=-2.
(2)当=2时,Sn=,显然<+800,
此时不存在正整数n,使得Sn>+800成立.
当=-2时,Sn==2.
令2>+800,即n2--400>0,
解得n>40或n<-10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>+800成立,n的最小值为41.
综上,当=2时,不存在满足题意的正整数n;
当=-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.
20.、[2014・湖北卷] 如图1-5,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:
(1)直线BC1∥平面EFPQ;
(2)直线AC1⊥平面PQ.
图1-5
20.证明:(1)连接AD1,由ABCD - A1B1C1D1是正方体,
知AD1∥BC1.
因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图,连接AC,BD,A1C1,则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.
而AC1?平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.
因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以∥BD,从而⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩=N,所以直线AC1⊥平面PQ.
21.[2014・湖北卷] π为圆周率,e=2.718 28...为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)=的单调区间;
(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.
21.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
因为f(x)=,所以f′(x)=.
当f′(x)>0,即0 当f′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.
故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).
(2)因为e<3<π,所以 3< π,π e<π 3,
即 3e< πe, eπ< 3π.
于是根据函数y= x,y=ex,y=πx在定义域上单调递增可得,3e<πe<π3,e3 故这6个数中的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.
由e<3<π及(1)的结论,得f(π) 即<<.
由<, 得 π3<3π,所以3π>π3.
由<,得 3e< e3,所以3e 综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.
22.[2014・湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
22.解:(1)设点M(x,y),依题意得=|x|+1,
即=|x|+1,
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=
(2)在点M的轨迹C中,
记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0).
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
由方程组
可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,
得x=.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.
当k≠0时,方程①的判别式
Δ=-16(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③
(i)若由②③解得k<-1或k>.
即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
(ii)若或由②③解得k∈或-≤k<0.
即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.
当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
(iii)若由②③解得-1 即当k∈∪时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综上所述,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;
当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.