2014年高考真题——理科数学（全国大纲卷）精校版 Word版含解析

2014年普通高等学校统一考试（大纲）
理科
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，则z的共轭复数为                                                   （     ）
A．    B．   C．    D．
【答案】D．
2.设集合，，则                   （     ）
A．   B．   C．   D．
【答案】B.
3.设则                                           （     ）
A．   B．   C．   D．
【答案】C．
4.若向量满足：则                        （     ）
A．2    B．   C．1    D．
【答案】B．
5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（     ）
A．60种    B．70种    C．75种    D．150种 
【答案】C．
6.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为                                     （     ）
A．    B．   C．   D．
【答案】A．
7.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于                                        （     ）
A．    B．    C．2   D．1
【答案】C．
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为   （    ）
A．    B．   C．    D．
【答案】A．
9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（     ）
A．          B．         C．        D．
【答案】A．
10.等比数列中，，则数列的前8项和等于                     （     ）
A．6          B．5          C．4         D．3
【答案】C．
11.已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为                                                （      ）
A．          B．       C．        D．
【答案】B.
12.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（    ）
A．        B．        C．         D．
【答案】D.

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 的展开式中的系数为         .（用数字作答）
【答案】70.
14.设满足约束条件，则的最大值为         .
【答案】5.
15．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于         .
【答案】．
16.若函数在区间是减函数，则的取值范围是         .
【答案】．
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
　　的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求B.
解：由题设和正弦定理得
又．
18. （本小题满分12分）
　　等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.
（I）求的通项公式；
（II）设，求数列的前n项和.
解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（II），于是．
19. （本小题满分12分）
　　如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.

解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，
平面．连结，∵侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面．作为垂足，则平面．又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，∴二面角的大小为．

解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．
（I）设，由题设有则由得，即（①）．于是．
（II）设平面的法向量则即．
故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．
20. （本小题满分12分）
　　设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.
（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.
解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
（I），又
（II）的可能取值为0，1，2，3，4．
，

∴数学期望

21. （本小题满分12分）
　　已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.
（I）求C的方程；
（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.
解：（I）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则
．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．
由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．
22. （本小题满分12分）
函数.
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：.
解：（I）的定义域为．
（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．
（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．
（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．
（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．
（i）当时，由已知，故结论成立；
（ii）假设当时结论成立，即．当时，，即当时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．








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