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2015高考真题——数学文(陕西卷)Word版含答案

2023-11-13 03:07:06


2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
文科数学
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
 1、设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=
  (A)[0,1]            (B)(0,1]             (C)[0,1)              (D)(-∞,1]
2、某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数是
  (A)93              (B)123             (C)137               (D)167

3、已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为
  (A)(-1,0)           (B)(1,0)             (C)(0,-1)         (D)(0,1)
4、设f(x)=,则f(f(-2))=
  (A)-1              (B)              (C)                (D) 
5、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
  (A)3π              (B)4π             (C)2π+4             (D)3π+4
  
6、"sα=cosα"是"cos2α=0"的
  (A)充分不必要条件                      (B)必要不充分条件
  (C)充分必要条件                        (D)既不充分也不必要条件
7、根据右边框图,当输入x为6时,输出的y=
  (A)1                 (B)2
  (C)5                (D)10
  
8、对任意的平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是
  (A)|a・≤      (B)|a-≤-|
  (C)(a+b)2=|a+2   (D)(a+b)・(a-b)=a2-b2
9、设f(x)=x-sx,则f(x)
  (A)既是奇函数又是减函数
  (B)既是奇函数又是增函数
  (C)是有零点的减函数
  (D)是没有零点的奇函数
10、设f(x)=x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是
  (A)q=r<p          (B)q=r>p          (C)p=r<q          (D)p=r>q
11、某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为
  (A)12万元         (B)16万元          (C)17万元        (D)18万元
甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8   



12、设复数z=(x-1)+yi(,y∈R),若|z |≤1,则y≥x的概率为
  (A)          (B)            (C)      (D)
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13、中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________
14、如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3s(x+)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.

15、函数y=xex在其极值点处的切线方程为____________.
16、观察下列等式:
1-
1-
1-
............
据此规律,第n个等式可为______________________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分)
17、(本小题满分12分)
△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cosA,sB)平行.
(I) 求A;
(II) 若a=,b=2,求△ABC的面积.



18、(本小题满分12分)
如图1,在直角梯形ABCD中,AD//BC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图2中△的位置,得到四棱锥
(I)证明:CD平面A1OC;
(II)当平面A1BE 平面BCDE时,四棱锥的体积为36,求a的值.



19、(本小题满分12分)
随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(I) 在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(II) 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.



20、(本小题满分12分)
如图,椭圆E:(>>0)经过点A(0,-1),且离心率为.
(I) 求椭圆E的方程;
(II) 经过点(1,1)且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.



21、(本小题满分12分)

(I) 求.
(II) 证明:在(0,)内有且仅有一个零点(记为),且0<-<.





考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方涂框黑.
22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB切于于点B,直线AO交于D,E两点,BCDE,垂足为C.


(I) 证明:;
(II) 若AD=3DC,BC=,求的直径.




23、(本小题满分10分)选修4-1,坐标系与参数方程
在直角坐标系O中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标方程为.
(I) 写出的直角坐标方程;
(II) P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.



24、(本小题满分10分)选修4-5,不等式选讲
已知关于的不等式| +(I) 求实数a,b的值.
(II) 求+的最大值.







答案

1.A  2. C  3.B  4.C  5.D  6.A  7.D  8.B  9.B  10.C  11.D  12.C

13.5  14.8  15. =-   16. 

17.解:(I)因为m//n,所以  asB-bcosA=0,
  
   由正弦定理,得   sAsB-sBcosA=0
   
   又   sB0,从而  tA=,

  由于  0(II)解法一    由余弦定理,得

       a2=b2+c2-2bcosA,
 而    a=,b=2,A=,
 得    7=4+c2-2c,即   c2-2c-3=0,
  
 因为   c>0,所以  c=3.

故   ABC的面积为   bcsA=

解法二   由正弦定理,得   
从而   sB=,

又由a>b,知A>B,所以  cosB=,

故    sC=s(A+B)=s
          =sBcos+cosBs=.

所以ABC的面积为     

18.解   (I)在图1中,
        
    因为  AB=BC=AD=a,E是AD的中点
    
       即    在图2中,BEOC,
        
      从而   BE平面A1OC
 
      又CD//BE,

      所以   CD平面A1OC.

(III) 由已知,平面A1BE平面BCDE

且平面A1BE平面BCDE=BE,

又   由(I),A1OBE,

所以   A1O平面BCDE,

即   A1O是四棱锥A1-BCE的高。

由图1知,A1O=,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=2

从而   四棱锥A1-BCDE的体积为

          V=A1O=3=3,

            由3=36,得=6.

 19.(I)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为。
    
(III) 称相邻的两个日期为"互临日期对"(如,1日与2日,2日与3日等)。这样,在4月份中,前一天为晴天的互临日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为。
   以频率估计概率,运动会期间不会下雨的概率为
    
   20.(本小题满分12分)

解   (I)由题设知
      结合
     
    所以     椭圆的方程式为    
   
(II)由题设知,直线PQ的方程式为得


由已知>0.

设P
 


从而直线AP,AQ的斜率之和
 

       
         =
       
     =
21.(本小题满分12分)
    
  解  (I)解法一    由题设...
       
          所以   ...+      ①
         
          则      ...      ②
           
         ①-②得,...+
                          =
         所以      
         
         解法二      当,
     则         ,
    
    可得     
    
    (II)   因为   <0,
              
              >0,
    
           所以     
    
            又      ...>0,
    
            所以     
            因此      
            由于       
          
         所以       0=
       
               由此可得     >,
                
                故         <,<
               
               所以         0<-<
               
22解   (I)因为    DE为O直径
       则    
                        
            又    BC
                        
            从而    
      又AB切于点B,
               
               得   
               
               所以    
               
(II)由(I)知BD平分,

则   

又  BC=

所以   AC=

所以   AD=3.

由切割线定理得

即AE=,

故  DE=AE-AD=3,

即直径为3.


23.解(I)由

       

     从而有   

  所以      
  
(II)设P



故    当t=0时,取得最小值。

24.解(I)由<,得

-<<

则  

(II)

      

      =2

   当且仅当

   故