2015高考真题——数学理（福建卷）Word版含答案
2023-11-26 08:25:57
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学（理工类）
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于
A. B. C. D.
2、下列函数为奇函数的是
A. B. C. D.
3、若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于
A.11 B.9 C.5 D.3
4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归本线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为
A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元
5、若变量 满足约束条件 则 的最小值等于
A. B. C. D.2
6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为
A.2 B.1 C.0 D.
7、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则" "是" "的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8、若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于
A.6 B.7 C.8 D.9
9、已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于
A.13 B.15 C.19 D.21
10、若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11、 的展开式中， 的系数等于 .（用数字作答）
12、若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于 .
13、如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .
14、若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 .
15、一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为： .
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 .
16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.
17.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEG，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF平面ADE
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
18. 已知椭圆E：过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G
与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
19.已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(1)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(2)已知关于的方程在内有两个不同的解
1)求实数m的取值范围；
2)证明：
20.已知函数，
(1)证明：当；
(2)证明：当时，存在,使得对
(3)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有.
21.本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.
选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵
(1)求A的逆矩阵；
(2)求矩阵C，使得AC=B.
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.
选修4-5：不等式选讲
已知函数的最小值为4.
(1)求的值;
(2)求的最小值为.
数学试题（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。
11. 80 12. 7 13. 14. 15.5
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想，满分13分
解：（1）设"当天小王的该银行卡被锁定"的事件为A，
则
（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3
又
所以X的分布列为
所以.
17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分13分.
解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，
，
又F是CD中点，，
由四边形ABCD是矩形得，，
所以.
从而四边形HGFD是平行四边形，，
又，所以.
(2)如图，在平面BEG内，过点B作,因为
又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ
以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)
因为AB平面BEC，所以为平面BEC的法向量，
设为平面AEF的法向量.又
由取得.
从而
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
解法二：(1)如图，取AB中点M，连接MG，MF，
又G是BE的中点，可知AE，
又，
所以平面ADE.
在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得ＭＦＡＤ．
又，所以．
又因为，
所以平面ＡＤＥ，
因为，所以
（２）同解法一．
18．本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 满分13分
解法一：(1)由已知得
所以椭圆E的方程为.
(2)设点AB中点为.
由
所以从而.
所以.
,
故
所以，故G在以AB为直径的圆外.
解法二：(1)同解法一.
(2)设点，则
由所以
从而
所以不共线，所以为锐角.
故点G在以AB为直径的圆外.
19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想. 满分13分.
解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故
从而函数图像的对称轴方程为
(2)1)
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.
2)因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
解法二：(1)同解法一.
(2)1) 同解法一.
2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
于是
20.本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想.满分14分.
解法一：(1)令则有
当 ,所以在上单调递减,
故当.
(2)令则有
当 ,所以在上单调递增,
故对任意正实数均满足题意.
当.
取,所以在上单调递增, ,即.
综上，当时，总存在,使得对任意的.
(3)当时，由（1）知，对于，
，
令，则有
故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.
当时，由（2）知存在,使得对任意的.
此时,
令，则有
故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，
则当，故满足题意的t不存在.
当，由（1）知，，
令，则有
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.
综上，.
解法二：（1）（2）同解法一.
（3）当时，由（1）知，对于，
故，
令，
从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.
当时，取
由（2）知存在,使得.
此时,
令，此时 ,
记与中较小的为，则当，
故满足题意的t不存在.
当，由（1）知，，
令，则有
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.
综上，.
21.选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分.
解：(1)因为
所以
(2)由AC=B得,
故
选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分.
解：(1)消去参数t，得到圆的普通方程为,
由，得,
所以直线l的直角坐标方程为.
(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即
选修4-5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想.满分7分.
解：(1)因为
当且仅当时，等号成立
又，所以,所以的最小值为,
所以
(2)由(1)知，由柯西不等式得
,
即.
当且仅当,即时，等号成立
所以的最小值为.
数 学（理工类）
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于
A. B. C. D.
2、下列函数为奇函数的是
A. B. C. D.
3、若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于
A.11 B.9 C.5 D.3
4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归本线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为
A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元
5、若变量 满足约束条件 则 的最小值等于
A. B. C. D.2
6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为
A.2 B.1 C.0 D.
7、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则" "是" "的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8、若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于
A.6 B.7 C.8 D.9
9、已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于
A.13 B.15 C.19 D.21
10、若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11、 的展开式中， 的系数等于 .（用数字作答）
12、若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于 .
13、如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .
14、若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 .
15、一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为： .
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 .
16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.
17.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEG，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF平面ADE
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
18. 已知椭圆E：过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G
与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
19.已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(1)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(2)已知关于的方程在内有两个不同的解
1)求实数m的取值范围；
2)证明：
20.已知函数，
(1)证明：当；
(2)证明：当时，存在,使得对
(3)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有.
21.本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.
选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵
(1)求A的逆矩阵；
(2)求矩阵C，使得AC=B.
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.
选修4-5：不等式选讲
已知函数的最小值为4.
(1)求的值;
(2)求的最小值为.
数学试题（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。
11. 80 12. 7 13. 14. 15.5
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想，满分13分
解：（1）设"当天小王的该银行卡被锁定"的事件为A，
则
（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3
又
所以X的分布列为
所以.
17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分13分.
解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，
，
又F是CD中点，，
由四边形ABCD是矩形得，，
所以.
从而四边形HGFD是平行四边形，，
又，所以.
(2)如图，在平面BEG内，过点B作,因为
又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ
以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)
因为AB平面BEC，所以为平面BEC的法向量，
设为平面AEF的法向量.又
由取得.
从而
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
解法二：(1)如图，取AB中点M，连接MG，MF，
又G是BE的中点，可知AE，
又，
所以平面ADE.
在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得ＭＦＡＤ．
又，所以．
又因为，
所以平面ＡＤＥ，
因为，所以
（２）同解法一．
18．本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 满分13分
解法一：(1)由已知得
所以椭圆E的方程为.
(2)设点AB中点为.
由
所以从而.
所以.
,
故
所以，故G在以AB为直径的圆外.
解法二：(1)同解法一.
(2)设点，则
由所以
从而
所以不共线，所以为锐角.
故点G在以AB为直径的圆外.
19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想. 满分13分.
解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故
从而函数图像的对称轴方程为
(2)1)
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.
2)因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
解法二：(1)同解法一.
(2)1) 同解法一.
2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
于是
20.本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想.满分14分.
解法一：(1)令则有
当 ,所以在上单调递减,
故当.
(2)令则有
当 ,所以在上单调递增,
故对任意正实数均满足题意.
当.
取,所以在上单调递增, ,即.
综上，当时，总存在,使得对任意的.
(3)当时，由（1）知，对于，
，
令，则有
故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.
当时，由（2）知存在,使得对任意的.
此时,
令，则有
故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，
则当，故满足题意的t不存在.
当，由（1）知，，
令，则有
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.
综上，.
解法二：（1）（2）同解法一.
（3）当时，由（1）知，对于，
故，
令，
从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.
当时，取
由（2）知存在,使得.
此时,
令，此时 ,
记与中较小的为，则当，
故满足题意的t不存在.
当，由（1）知，，
令，则有
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.
综上，.
21.选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分.
解：(1)因为
所以
(2)由AC=B得,
故
选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分.
解：(1)消去参数t，得到圆的普通方程为,
由，得,
所以直线l的直角坐标方程为.
(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即
选修4-5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想.满分7分.
解：(1)因为
当且仅当时，等号成立
又，所以,所以的最小值为,
所以
(2)由(1)知，由柯西不等式得
,
即.
当且仅当,即时，等号成立
所以的最小值为.
