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2015高考真题——数学文(广东卷)Word版含答案

2020-03-26 02:48:42


绝密★启用前                              试卷类型:B
2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、若集合,,则(   )
A.                   B.                C.              D.
2、已知是虚数单位,则复数(   )
A.                   B.                   C.                  D.
3、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(   )
A.          B.         C.        D.
4、若变量,满足约束条件,则的最大值为(   )
A.                 B.                    C.                  D.
5、设的内角,,的对边分别为,,.若,,,且,则(   )
A.            B.              C.             D.
6、若直线和是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列命题正确的是(   )
A.至少与,中的一条相交                      B.与,都相交
C.至多与,中的一条相交                      D.与,都不相交
7、已知件产品中有件次品,其余为合格品.现从这件产品中任取件,恰有一件次品的概率为(   )
A.                  B.                  C.                   D.
8、已知椭圆()的左焦点为,则(   )
A.                  B.                  C.                   D.
9、在平面直角坐标系中,已知四边形是平行四边形,,,则(   )
A.                      B.                    C.                    D.
10、若集合,
,用表示集合中的元素个数,则(   )
A.                  B.                   C.                     D.
二、填空题(本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.)
(一)必做题(11~13题)
11、不等式的解集为          .(用区间表示)
12、已知样本数据,,,的均值,则样本数据,,,的均值为        .
13、若三个正数,,成等比数列,其中,,则        .
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选作一题)
14、(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),则与交点的直角坐标为         .
15、(几何证明选讲选做题)如图,为圆的直径,为的延长线上一点,过作圆的切线,切点为,过作直线的垂线,垂足为.若,,则            .
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
16、(本小题满分12分)已知.
求的值;
求的值.
17、(本小题满分12分)某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.









求直方图中的值;
求月平均用电量的众数和中位数;
在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
18、(本小题满分14分)如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,.
证明:平面;
证明:;
求点到平面的距离.


19、(本小题满分14分)设数列的前项和为,.已知,,,且当时,.
求的值;
证明:为等比数列;
求数列的通项公式.
20、(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.
求圆的圆心坐标;
求线段的中点的轨迹的方程;
是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
21、(本小题满分14分)设为实数,函数.
若,求的取值范围;
讨论的单调性;
当时,讨论在区间内的零点个数.
 








2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)参考答案
一、 选择题
1.C     2.D     3.A     4.C     5.B     
6.A     7.B     8.C     9.D     10.D     
二、填空题
   11. 【答案】
   12. 【答案】
   13. 【答案】
   14. 【答案】
   15. 【答案】
   16. 【答案】(1);(2).
   17. 【答案】(1);(2),;(3).
  18. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
 (1)因为四边形是长方形,所以,因为平面,平面,所以平面
(2)因为四边形是长方形,所以,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以
(3)取的中点,连结和,因为,所以,在中,
,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,由(2)知:平面,由(1)知:,所以平面,因为平面,所以,设点到平面的距离为,因为,所以,即,所以点到平面的距离是
19. 【答案】(1);(2)证明见解析;(3).
(1)当n=2时,4
解得:
(2)因为即×,所以数列
(3)由知:数列是以为首项,公比为的等比数列,所以
即,所以数列是以为首项,公差为的等差数列,所以,即,所以数列的通项公式是


20. 【答案】(1);(2);(3)存在,或.

(1) 圆
(2) 设线段AB的中点M由圆的性质可得垂直于直线l
设直线l的方程为
所以
 因为动直线l与圆相交,所以<2,所以<;
所以<<>或<0,又因为0<所以
<.
所以满足即

(3) 由题意知直线l表示过定点T斜率为k的直线
结合图形,
 
按逆时针方向运动到的圆弧,根据对称性,只需讨论在x轴对称下方的圆弧。设
P则而当直线L与轨迹C相切时,,解得
,在这里暂取,因为<,所以
结合图形,可得对于X轴对称下方的圆弧,当或时,直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点,根据对称性可知或.
综上所述:当或时,直线与曲线只有一交点.


21. 【答案】
(1);
(2)在上单调递增,在上单调递减;(3)当时,
有一个零点x=2;当,与有两个零点.
    
(1)因为所以
  
当显然成立;当>0时,则有2≤1,所以≤,所以
0<≤综上所述,的取值范围≤

(2)
对于其对称轴为<,开口向上
所以在上单调递增
对于其对称轴为>,开口向上
所以在上单调递减
综上所述:在上单调递增,在上单调递减;

(3)由(2)得在上单调递增,在上单调递减,所以.
(i)当时,,

令=0,即(x>0).
因为在上单调递减,所以
而在上单调递增,,所以与在无交点.
当时,,即,所以,所以,因为,所以,即当时,有一个零点x=2.
(ii)当时,,
当时, ,,而在上单调递增,
当时,.下面比较与的大小
因为
所以



结合图像不难得当,与有两个交点. 
综上,当时,有一个零点x=2;当,与有两个零点.