2015高考真题——数学文（天津卷）Word版含答案
2023-12-12 02:40:00
2015年天津卷高考数学试卷（文科）
一、选择题
1.已知全集，集，集合，则集合
(A) (B) (C) (D)
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14
3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5
4.设，则""是""的
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
5.已知双曲线的一个焦点为，
且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为
(A) (B) (C) (D)
6.如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若=2，MD=4，=3，则线段NE的长为
(A) (B) 3 (C) (D)
7.已知定义在R上的函数为偶函数，记，则,的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
8.已知函数，函数，则函数的零点的个数为
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5
二：填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.i是虚数单位，计算 的结果为 ．
10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 .
11.已知函数 ，其中a为实数，为的导函数，若 ，则a的值为 ．
12.已知 则当a的值为 时取得最大值。
13.在等腰梯形ABCD中，已知， 点E和点F分别在线段BC和DC上，且 则的值为 ．
14.已知函数 若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15.（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛。
（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（II）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛。
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件"编号为的两名运动员至少有1人被抽到"，求事件A发生的概率。
16.（13分）△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，
（I）求a和sC的值；
（II）求 的值。
17.（13分）
如图，已知平面ABC， AB=AC=3，,， 点E，F分别是BC和 的中点，
（I）求证：EF 平面 ；
（II）求证：平面平面。
（III）求直线 与平面所成角的大小。
18.已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且,
.
(1)求和的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和.
19. 已知椭圆的上顶点为B，左焦点为,离心率为.
(1)求直线BF的斜率；
(2)设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M，.
(i)求的值；
(ii)若，求椭圆的方程.
20. 已知函数
(1)求的单调性；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有;
(3)若方程有两个正实数根且，求证：.
答案
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6. A 7.B 8. A
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分39分。
(9.)-i (10). (11) . 3 (12)4 (13) (14)
三.解答题
（15）本小题主要考查分层抽样，用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及 其概率计算公式等基础知识，考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力。满分13分
（I）解：从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2
（II）（i）从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为,,,,,,,,,,,,,,,共15种.
（ii）解：编号为的两名运动员至少有一人被抽到的所有结果为,, ,, ,,,,,共9种,
因此，事件A发生的概率
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本系数、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识。考查基本运算求解能力.满分13分.
（I）解：在中，由,可得.由,
得bc=24，又由，解得b=6,c=4.
由,可得=8.
由,得.
(II)解：
=
(17)本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.
考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
（I）证明：如图，连接.在中，因为E和F分别是BC和的中点，所以
.又因为平面,所以平面。
（II）证明：
因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.
（III）解：取的中点M和的中点N,连接, ,.因为N和E分别为和的中点，所以, ,故,所以,且。又因为平面
,所以,从而 为直线与平面所成的角。
在中，可得AE=2，所以.
因为,,,又由,有.
在中，可得。
在中，,因此
所以，直线与平面所成的角为.
（18）本小题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识。考查数列求和的基本方法和运算求解能力，满分13分。
（I）解：设数列的公比为q,数列的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d，整数得 又因为＞0，解得 ,所以的通项公式为, 数列的通项公式为.
（II）解：由（I）有 ,设的前n项和为 ,则
两式相减得
所以 .
19.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂至等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想和化归思想解决问题的能力。满分14分。
（I）解：设，由已知离心率及又因为 ,故直线BF的斜率
（II）设点 ,（i）由（I）可得椭圆方程为 直线BF的方程为 ,将直线方程与椭圆方程联立，消去y，得 解得 .因为,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立，消去y，整得 ,解得 .
又因为 ,及 ，可得
（ii）解：由（i）有,所以,即 ,又因为,所以=.
又因为, 所以,因此 所以椭圆方程为
（20）本小题主要考查导数的运算、
导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识。考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分。
（I）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增；当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.
（II）证明：设点P的坐标为，则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令函数 即 则.
由于在上单调递减,故在上单调递减,又因为,所以当时,,当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对于任意的实数x,， 即对于任意的正实数,都有.
（III）证明：由（II）知。设方程的根为，可得。
因为在上单调递减，又由（II）知，因此＞。
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，对于任意的，有，即.
设方程的根为，可得=.因为，对于任意的，有，即.
设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.
由此可得
一、选择题
1.已知全集，集，集合，则集合
(A) (B) (C) (D)
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14
3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5
4.设，则""是""的
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
5.已知双曲线的一个焦点为，
且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为
(A) (B) (C) (D)
6.如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若=2，MD=4，=3，则线段NE的长为
(A) (B) 3 (C) (D)
7.已知定义在R上的函数为偶函数，记，则,的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
8.已知函数，函数，则函数的零点的个数为
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5
二：填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.i是虚数单位，计算 的结果为 ．
10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 .
11.已知函数 ，其中a为实数，为的导函数，若 ，则a的值为 ．
12.已知 则当a的值为 时取得最大值。
13.在等腰梯形ABCD中，已知， 点E和点F分别在线段BC和DC上，且 则的值为 ．
14.已知函数 若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15.（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛。
（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（II）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛。
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件"编号为的两名运动员至少有1人被抽到"，求事件A发生的概率。
16.（13分）△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，
（I）求a和sC的值；
（II）求 的值。
17.（13分）
如图，已知平面ABC， AB=AC=3，,， 点E，F分别是BC和 的中点，
（I）求证：EF 平面 ；
（II）求证：平面平面。
（III）求直线 与平面所成角的大小。
18.已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且,
.
(1)求和的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和.
19. 已知椭圆的上顶点为B，左焦点为,离心率为.
(1)求直线BF的斜率；
(2)设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M，.
(i)求的值；
(ii)若，求椭圆的方程.
20. 已知函数
(1)求的单调性；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有;
(3)若方程有两个正实数根且，求证：.
答案
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6. A 7.B 8. A
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分39分。
(9.)-i (10). (11) . 3 (12)4 (13) (14)
三.解答题
（15）本小题主要考查分层抽样，用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及 其概率计算公式等基础知识，考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力。满分13分
（I）解：从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2
（II）（i）从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为,,,,,,,,,,,,,,,共15种.
（ii）解：编号为的两名运动员至少有一人被抽到的所有结果为,, ,, ,,,,,共9种,
因此，事件A发生的概率
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本系数、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识。考查基本运算求解能力.满分13分.
（I）解：在中，由,可得.由,
得bc=24，又由，解得b=6,c=4.
由,可得=8.
由,得.
(II)解：
=
(17)本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.
考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
（I）证明：如图，连接.在中，因为E和F分别是BC和的中点，所以
.又因为平面,所以平面。
（II）证明：
因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.
（III）解：取的中点M和的中点N,连接, ,.因为N和E分别为和的中点，所以, ,故,所以,且。又因为平面
,所以,从而 为直线与平面所成的角。
在中，可得AE=2，所以.
因为,,,又由,有.
在中，可得。
在中，,因此
所以，直线与平面所成的角为.
（18）本小题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识。考查数列求和的基本方法和运算求解能力，满分13分。
（I）解：设数列的公比为q,数列的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d，整数得 又因为＞0，解得 ,所以的通项公式为, 数列的通项公式为.
（II）解：由（I）有 ,设的前n项和为 ,则
两式相减得
所以 .
19.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂至等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想和化归思想解决问题的能力。满分14分。
（I）解：设，由已知离心率及又因为 ,故直线BF的斜率
（II）设点 ,（i）由（I）可得椭圆方程为 直线BF的方程为 ,将直线方程与椭圆方程联立，消去y，得 解得 .因为,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立，消去y，整得 ,解得 .
又因为 ,及 ，可得
（ii）解：由（i）有,所以,即 ,又因为,所以=.
又因为, 所以,因此 所以椭圆方程为
（20）本小题主要考查导数的运算、
导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识。考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分。
（I）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增；当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.
（II）证明：设点P的坐标为，则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令函数 即 则.
由于在上单调递减,故在上单调递减,又因为,所以当时,,当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对于任意的实数x,， 即对于任意的正实数,都有.
（III）证明：由（II）知。设方程的根为，可得。
因为在上单调递减，又由（II）知，因此＞。
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，对于任意的，有，即.
设方程的根为，可得=.因为，对于任意的，有，即.
设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.
由此可得
