2015高考真题——数学文（北京卷）Word版含答案
2023-12-04 23:59:54
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2015年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A=｛x|□5＜x＜2｝，B=｛x|□3＜x＜3｝，则A□B=
A. ｛x|3＜x＜2｝ B. ｛x|5＜x＜2｝ C. ｛x| 3＜x＜3｝ D. ｛x|5＜x＜3｝
（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是
（A）（x-1）2+（y-1）2=1 （B）（x+1）2+（y+1）2=1
（C）（x+1）2+（y+1）2=2 （D）（x-1）2+（y-1）2=2
（3）下列函数中为偶函数的是（）
（A）y=x2sx （B）y=x2cosx （C）Y= x| （D）y=2x
（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）
（A）90 （B）100 （C）180 （D）300
类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 (5) 执行如果所示的程序框图，输出的k值为
（A）3 （B）4 (C)5 (D)6
（6）设a，b是非零向量，"a・b="是"a//b"的
（A） 充分而不必要条件
（B） 必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为
(A)1 （B） （B） (D)2
（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
（A）6升
（B）8升
（C）10升
（D）12升
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）复数i（1+i）的实数为
（10）2-3, ,log25三个数中最大数的是
（11）在△ABC中，a=3,b=,A=，B=
（12）已知（2，0）是双曲线=1(b>0)的一个焦点，则b=.
（13）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为
（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是
三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值。
（16）（本小题13分）
已知等差数列{}满足+=10，-=2.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}满足，；问：与数列{}的第几项相等？
（17）（本小题13分）
某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中"√"表示购买，"×"表示未购买。
商品
顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
（18）（本小题14分）
如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB ⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥ BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点。
（1） 求证:VB//平面MOC.
（2） 求证：平面MOC⊥平面 VAB
（3） 求三棱锥V-ABC的体积。
（19）（本小题13分）
设函数f（x）= ,k>0
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。
(20)(本小题14分)
已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线.
（1）求椭圆的离心率；
（II）若AB垂直于x轴，求直线的斜率；
（III）试判断直线与直线DE的位置关系，并说明理由。
2015年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）D （3）B （4）C
（5）B （6）A （7）C （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）-1 （10）log25
（11） （12）
（13）7 （14）乙 数学
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I）因为
所以的最小正周期为2.
（II）因为0，所以.
当，即时，取得最小值.
所以在区间上的最小值为.
（16）（共13分）
解：（I）设等差数列的公差为.
因为，所以.
又因为，所以，故.
所以.
（II）设等比数列的公比为q.
因为，，
所以，.
所以.
由128=得.
所以与数列的第63项相等.
（17）（共13分）
解：（I）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.
（II）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，
另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
.
（III）与（I）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。
（18）（共14分）
解：（I）因为O,M分别为AB，ＶＡ的中点，
所以ＯＭ//ＶＢ.
又因为ＶＢ平面MOC，
所以VB//平面MOC.
（II）因为ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为AB的中点，
所以OCAB.
又因为平面平面，且平面，
所以平面．
所以平面平面．
（III）在等腰直角三角形中，，
所以，．
所以等边三角形的面积．
又因为平面，
所以三棱锥的体积等于．
又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
所以三棱锥的体积为．
（１９）（共１３分）
解：（Ｉ）由（k>0）得
.
由=0解得
与在区间（）上的情况如下：
- 0 +
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值.
（II）由（I）知，在区间上的最小值.
因为存在零点，所以，从而.
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点.
当>e时，在区间上单调递减，且><
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
（20）（共14分）
解：（I）椭圆的标准方程为.
所以.
所以椭圆的离心率.
（II）因为过点且垂直于轴，所以可设，
直线的方程.
令，得.
所以直线的斜率.
（III）直线与直线平行.证明如下：
当直线的斜率不存在时，由（II）可知
又因为直线的斜率，所以//.
当直线的斜率存在时，设其方程为，
设则直线的方程为
令，得点.
由得
所以
直线的斜率
因为
，
所以，
所以//.
综上可知，直线与直线平行.
2015年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A=｛x|□5＜x＜2｝，B=｛x|□3＜x＜3｝，则A□B=
A. ｛x|3＜x＜2｝ B. ｛x|5＜x＜2｝ C. ｛x| 3＜x＜3｝ D. ｛x|5＜x＜3｝
（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是
（A）（x-1）2+（y-1）2=1 （B）（x+1）2+（y+1）2=1
（C）（x+1）2+（y+1）2=2 （D）（x-1）2+（y-1）2=2
（3）下列函数中为偶函数的是（）
（A）y=x2sx （B）y=x2cosx （C）Y= x| （D）y=2x
（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）
（A）90 （B）100 （C）180 （D）300
类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 (5) 执行如果所示的程序框图，输出的k值为
（A）3 （B）4 (C)5 (D)6
（6）设a，b是非零向量，"a・b="是"a//b"的
（A） 充分而不必要条件
（B） 必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为
(A)1 （B） （B） (D)2
（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
（A）6升
（B）8升
（C）10升
（D）12升
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）复数i（1+i）的实数为
（10）2-3, ,log25三个数中最大数的是
（11）在△ABC中，a=3,b=,A=，B=
（12）已知（2，0）是双曲线=1(b>0)的一个焦点，则b=.
（13）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为
（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是
三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值。
（16）（本小题13分）
已知等差数列{}满足+=10，-=2.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}满足，；问：与数列{}的第几项相等？
（17）（本小题13分）
某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中"√"表示购买，"×"表示未购买。
商品
顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
（18）（本小题14分）
如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB ⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥ BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点。
（1） 求证:VB//平面MOC.
（2） 求证：平面MOC⊥平面 VAB
（3） 求三棱锥V-ABC的体积。
（19）（本小题13分）
设函数f（x）= ,k>0
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。
(20)(本小题14分)
已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线.
（1）求椭圆的离心率；
（II）若AB垂直于x轴，求直线的斜率；
（III）试判断直线与直线DE的位置关系，并说明理由。
2015年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）D （3）B （4）C
（5）B （6）A （7）C （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）-1 （10）log25
（11） （12）
（13）7 （14）乙 数学
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I）因为
所以的最小正周期为2.
（II）因为0，所以.
当，即时，取得最小值.
所以在区间上的最小值为.
（16）（共13分）
解：（I）设等差数列的公差为.
因为，所以.
又因为，所以，故.
所以.
（II）设等比数列的公比为q.
因为，，
所以，.
所以.
由128=得.
所以与数列的第63项相等.
（17）（共13分）
解：（I）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.
（II）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，
另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
.
（III）与（I）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。
（18）（共14分）
解：（I）因为O,M分别为AB，ＶＡ的中点，
所以ＯＭ//ＶＢ.
又因为ＶＢ平面MOC，
所以VB//平面MOC.
（II）因为ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为AB的中点，
所以OCAB.
又因为平面平面，且平面，
所以平面．
所以平面平面．
（III）在等腰直角三角形中，，
所以，．
所以等边三角形的面积．
又因为平面，
所以三棱锥的体积等于．
又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
所以三棱锥的体积为．
（１９）（共１３分）
解：（Ｉ）由（k>0）得
.
由=0解得
与在区间（）上的情况如下：
- 0 +
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值.
（II）由（I）知，在区间上的最小值.
因为存在零点，所以，从而.
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点.
当>e时，在区间上单调递减，且><
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
（20）（共14分）
解：（I）椭圆的标准方程为.
所以.
所以椭圆的离心率.
（II）因为过点且垂直于轴，所以可设，
直线的方程.
令，得.
所以直线的斜率.
（III）直线与直线平行.证明如下：
当直线的斜率不存在时，由（II）可知
又因为直线的斜率，所以//.
当直线的斜率存在时，设其方程为，
设则直线的方程为
令，得点.
由得
所以
直线的斜率
因为
，
所以，
所以//.
综上可知，直线与直线平行.
