2015高考真题——数学理（新课标I卷）Word版含答案
2023-11-17 07:24:30
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试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝
(A)1 (B) (C) (D)2
(2)s20°cos10°－con160°s10°＝
(A) (B) (C) (D)
(3)设命题P：nN，>，则P为
(A)nN， > (B) nN， ≤
(C)nN， ≤ (D) nN， ＝
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知M(x0，y0)是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是
(A)(－，) (B)(－，)
(C)(，) (D)(，)
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:"今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?"其意思为:"在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
(7)设D为ABC所在平面内一点，则
(A) (B)
(C) (D)
(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为
(A)()，k (b)()，k
(C)()，k (D)()，k
(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
（10） 的展开式中，的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
（11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，
（12） 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的
（13） 表面积为16 ＋ 20，则r＝
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的
整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )
A.[，1) B. [) C. [) D. [，1)
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)若函数f(x)＝x(x＋)为偶函数，则a＝
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .
(15)若x，y满足约束条件，则的最大值为 .
(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
Sn为数列{}的前n项和.已知>0，
(Ⅰ)求{}的通项公式：
(Ⅱ)设 ，求数列}的前n项和
(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，
E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，
DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，・・・，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(x1－)2 (w1－)2 (x1－)(y－) (w1－)(y－) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中w1 ＝1， ， ＝
(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)........ (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
(Ⅱ)用 表示m，n中的最小值，设函数 ，讨论h(x)零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E
（I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；
（II） 若OA＝CE，求∠ACB的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中.直线:x＝－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I） 求，的极坐标方程；
（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求△N的面积
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数＝|x＋－x－，a>0.
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
A卷选择题答案
一、 选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B
（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D
A、B卷非选择题答案
二、填空题
（13）1 （14） （15）3 （16）
二、 解答题
（17）解：
（I）由，可知
可得 即
由于可得
又，解得
所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为
（II）由
设数列的前n项和为，则
（18）解：
（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.
在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，
可得AG=GC=.由 BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.
又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，
可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，
可得FE=.从而
又因为
所以平面
（III） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，
为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I）可得所以
故
所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.
（19）解：
（I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 ......2分
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于
。
所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。 ......6分
（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值
年利润z的预报值
。 ......9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
所以当，即x=46.24时，取得最大值
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ......12分
（20）解：
（I）有题设可得又
处的导数值为，C在点出的切线方程为
，即.
股所求切线方程为
（III） 存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为
故
从而
当b=-a时，有
（21）解：
（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点
因此，当
（II）当
是的零点
综上，当
（22）解：
（I）链接AE，由已知得，
在中，由已知得，DE=DC故
链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°
故，DE是得切线
（II）设CE=1，AE=X，由已知得，
由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即
可得，所以
（23）解：
（I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 ......5分
（II）将代入，得，解得，。故，即。
由于的半径为1，所以的面积为。 ......10分
（24）解：
（I）当时，化为，
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得。
所以的解集为。 ......5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。
由题设得，故。
所以a的取值范围为 ......10分
B卷选择题
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C （4）A (5) D (6) B
(7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A
试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝
(A)1 (B) (C) (D)2
(2)s20°cos10°－con160°s10°＝
(A) (B) (C) (D)
(3)设命题P：nN，>，则P为
(A)nN， > (B) nN， ≤
(C)nN， ≤ (D) nN， ＝
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知M(x0，y0)是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是
(A)(－，) (B)(－，)
(C)(，) (D)(，)
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:"今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?"其意思为:"在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
(7)设D为ABC所在平面内一点，则
(A) (B)
(C) (D)
(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为
(A)()，k (b)()，k
(C)()，k (D)()，k
(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
（10） 的展开式中，的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
（11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，
（12） 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的
（13） 表面积为16 ＋ 20，则r＝
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的
整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )
A.[，1) B. [) C. [) D. [，1)
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)若函数f(x)＝x(x＋)为偶函数，则a＝
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .
(15)若x，y满足约束条件，则的最大值为 .
(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
Sn为数列{}的前n项和.已知>0，
(Ⅰ)求{}的通项公式：
(Ⅱ)设 ，求数列}的前n项和
(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，
E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，
DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，・・・，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(x1－)2 (w1－)2 (x1－)(y－) (w1－)(y－) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中w1 ＝1， ， ＝
(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)........ (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
(Ⅱ)用 表示m，n中的最小值，设函数 ，讨论h(x)零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E
（I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；
（II） 若OA＝CE，求∠ACB的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中.直线:x＝－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I） 求，的极坐标方程；
（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求△N的面积
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数＝|x＋－x－，a>0.
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
A卷选择题答案
一、 选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B
（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D
A、B卷非选择题答案
二、填空题
（13）1 （14） （15）3 （16）
二、 解答题
（17）解：
（I）由，可知
可得 即
由于可得
又，解得
所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为
（II）由
设数列的前n项和为，则
（18）解：
（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.
在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，
可得AG=GC=.由 BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.
又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，
可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，
可得FE=.从而
又因为
所以平面
（III） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，
为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I）可得所以
故
所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.
（19）解：
（I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 ......2分
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于
。
所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。 ......6分
（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值
年利润z的预报值
。 ......9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
所以当，即x=46.24时，取得最大值
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ......12分
（20）解：
（I）有题设可得又
处的导数值为，C在点出的切线方程为
，即.
股所求切线方程为
（III） 存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为
故
从而
当b=-a时，有
（21）解：
（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点
因此，当
（II）当
是的零点
综上，当
（22）解：
（I）链接AE，由已知得，
在中，由已知得，DE=DC故
链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°
故，DE是得切线
（II）设CE=1，AE=X，由已知得，
由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即
可得，所以
（23）解：
（I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 ......5分
（II）将代入，得，解得，。故，即。
由于的半径为1，所以的面积为。 ......10分
（24）解：
（I）当时，化为，
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得。
所以的解集为。 ......5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。
由题设得，故。
所以a的取值范围为 ......10分
B卷选择题
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C （4）A (5) D (6) B
(7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A
