2016年高考江苏卷数学试题（含答案）
2023-12-02 01:55:54
数学Ⅰ试题
参考公式
圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.
圆锥的体积公式： Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.
一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合 则________▲________.
2.复数 其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.
3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________.
4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.
5.函数y= 的定义域是 ▲ .
6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .
8.已知{}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 ▲ .
9.定义在区间[0,3π]上的函数y=s2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ▲ .
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是 ▲ .
(第10题)
11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上， 其中 若 ，则f（5a）的值是 ▲ .
12. 已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围是 ▲ .
13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
14.在锐角三角形ABC中，若sA=2sBsC，则tAtBtC的最小值是 ▲ .
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分14分）
在中，AC=6，
（1）求AB的长；
（2）求的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.
求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
17.（本小题满分14分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的四倍.
(1) 若则仓库的容积是多少？
(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库的容积最大？
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2，4)
(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
(2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
(3) 设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
19. （本小题满分16分）
已知函数.
（1） 设a=2,b=.
① 求方程=2的根;
②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
20.（本小题满分16分）
记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 对任意正整数，若，求证：；
（3）设,求证：.
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.
B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵 矩阵B的逆矩阵 ，求矩阵AB.
C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.
D.设a＞0，|x＜ ，|y＜ ，求证：|2x+y＜a.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. （本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；
②求p的取值范围.
23.（本小题满分10分）
（1）求 的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）+...+n+（n+1）=（m+1）.
参考答案
1.
2.5
3.
4.0.1
5.
6.9
7.
8.20.
9.7.
10.
11.
12.
13.
14.8.
15.解（1）因为所以
由正弦定理知，所以
（2）在三角形ABC中，所以
于是
又，故
因为，所以
因此
16.证明：（1）在直三棱柱中，
在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.
所以，于是
又因为DE平面平面
所以直线DE//平面
（2）在直三棱柱中，
因为平面，所以
又因为
所以平面
因为平面，所以
又因为
所以
因为直线，所以
17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.
解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.
(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0因为在中，
所以，即
于是仓库的容积，
从而.
令，得 或（舍）.
当时， ，V是单调增函数；
当时，，V是单调减函数.
故时，V取得极大值，也是最大值.
因此，当 时，仓库的容积最大.
18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.
解：圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.
（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
(2)因为直线|OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设
因为,所以 ......①
因为点Q在圆M上，所以 .......②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆没有公共点，
所以 解得.
因此，实数t的取值范围是.
19．（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与"0是函数的唯一零点"矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.
20．（1）由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以.
因此，.
（3）下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.
21．A 证明：在和中，
因为为公共角，
所以∽，于是.
在中，因为是的中点，
所以，从而.
所以.
B．解：设，则，
即，
故，解得，所以.
因此，.
C．解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.
所以.
21D.证明：因为
所以
22.解：（1）抛物线的焦点为
由点在直线上，得，即
所以抛物线C的方程为
（2）设，线段PQ的中点
因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为
①由消去得
因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而，化简得.
方程（*）的两根为，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以，即
由①知，于是，所以
因此的取值范围为
23.解：（1）
（2）当时，结论显然成立，当时
又因为
所以
因此
参考公式
圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.
圆锥的体积公式： Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.
一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合 则________▲________.
2.复数 其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.
3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________.
4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.
5.函数y= 的定义域是 ▲ .
6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .
8.已知{}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 ▲ .
9.定义在区间[0,3π]上的函数y=s2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ▲ .
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是 ▲ .
(第10题)
11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上， 其中 若 ，则f（5a）的值是 ▲ .
12. 已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围是 ▲ .
13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
14.在锐角三角形ABC中，若sA=2sBsC，则tAtBtC的最小值是 ▲ .
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分14分）
在中，AC=6，
（1）求AB的长；
（2）求的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.
求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
17.（本小题满分14分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的四倍.
(1) 若则仓库的容积是多少？
(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库的容积最大？
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2，4)
(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
(2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
(3) 设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
19. （本小题满分16分）
已知函数.
（1） 设a=2,b=.
① 求方程=2的根;
②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
20.（本小题满分16分）
记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 对任意正整数，若，求证：；
（3）设,求证：.
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.
B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵 矩阵B的逆矩阵 ，求矩阵AB.
C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.
D.设a＞0，|x＜ ，|y＜ ，求证：|2x+y＜a.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. （本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；
②求p的取值范围.
23.（本小题满分10分）
（1）求 的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）+...+n+（n+1）=（m+1）.
参考答案
1.
2.5
3.
4.0.1
5.
6.9
7.
8.20.
9.7.
10.
11.
12.
13.
14.8.
15.解（1）因为所以
由正弦定理知，所以
（2）在三角形ABC中，所以
于是
又，故
因为，所以
因此
16.证明：（1）在直三棱柱中，
在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.
所以，于是
又因为DE平面平面
所以直线DE//平面
（2）在直三棱柱中，
因为平面，所以
又因为
所以平面
因为平面，所以
又因为
所以
因为直线，所以
17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.
解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.
(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0
所以，即
于是仓库的容积，
从而.
令，得 或（舍）.
当时， ，V是单调增函数；
当时，，V是单调减函数.
故时，V取得极大值，也是最大值.
因此，当 时，仓库的容积最大.
18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.
解：圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.
（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
(2)因为直线|OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设
因为,所以 ......①
因为点Q在圆M上，所以 .......②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆没有公共点，
所以 解得.
因此，实数t的取值范围是.
19．（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与"0是函数的唯一零点"矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.
20．（1）由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以.
因此，.
（3）下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.
21．A 证明：在和中，
因为为公共角，
所以∽，于是.
在中，因为是的中点，
所以，从而.
所以.
B．解：设，则，
即，
故，解得，所以.
因此，.
C．解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.
所以.
21D.证明：因为
所以
22.解：（1）抛物线的焦点为
由点在直线上，得，即
所以抛物线C的方程为
（2）设，线段PQ的中点
因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为
①由消去得
因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而，化简得.
方程（*）的两根为，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以，即
由①知，于是，所以
因此的取值范围为
23.解：（1）
（2）当时，结论显然成立，当时
又因为
所以
因此
