2016年高考浙江卷文数试题（含答案）
2023-12-12 05:49:59
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
2.已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则
∥l ∥n ⊥l ⊥n
3.函数y=sx2的图象是
4.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
A. B. C. D.
5.已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若，则
A. B.
C. D.
6.已知函数f（x）=x2+bx，则"b<0"是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知函数满足：且.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8.如图，点列分别在某锐角的两边上，且
，
.
(P≠Q表示点P与Q不重合)
若，为的面积，则
A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
9.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是2,体积是3.
10.已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.
11. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是2，体积是3.
12．设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，x∈R，则实数a=_____，b=______．
13．设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|P+|P的取值范围是_______．
14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．
15．已知平面向量a，b，=1，=2，a・b=1．若e为平面单位向量，则|a・+|b・的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．
17.（本题满分15分）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（I）求通项公式；
（II）求数列{}的前项和.
18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（I）求证：BF⊥平面ACFD；
（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
19.（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于-1.
（I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
20.（本题满分15分）设函数=，.证明：
（I）；
（II）.
数学（文科）
一、选择题
1.【答案】C
2. 【答案】C
3. 【答案】D
4.【答案】B
5. 【答案】D
6. 【答案】A
7. 【答案】B
8. 【答案】A
二、填空题
9. 【答案】80 ；40．
10.【答案】；5．
11. 【答案】；1．
12．【答案】－2；1．
13．【答案】．
14．【答案】
15．【答案】
三、解答题
16．
【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．
试题解析：（1）由正弦定理得，
故，
于是，，
又，故，所以或，
因此，（舍去）或，
所以，.
（2）由，得，，
故，，
.
考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.
【结束】
17.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．
试题解析：（1）由题意得：，则，
又当时，由，
得，
所以，数列的通项公式为.
（2）设，，.
当时，由于，故.
设数列的前项和为，则.
当时，，
所以，.
考点：等差、等比数列的基础知识.
【结束】
18.
【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．
试题解析：（1）延长相交于一点，如图所示，
因为平面平面，且，所以
平面，因此，
又因为，，，所以
为等边三角形，且为的中点，则，
所以平面.
（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，
在中，，得，
所以直线与平面所成的角的余弦值为.
考点：空间点、线、面位置关系、线面角.
【结束】
19.
【答案】（1）p=2；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.
试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.
由抛物线的第一得，即p=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,,由消去x得
，故，所以.
又直线AB的斜率为，故直线的斜率为，
从而的直线:，直线:，
所以，
设M(m,0),由A,M,N三点共线得：，
于是，经检验，m<0或m>2满足题意.
综上，点M的横坐标的取值范围是.
考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.
【结束】
20.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.
【解析】
试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到，从而得到结论；第二问，由得，进行放缩，得到，再结合第一问的结论，得到，从而得到结论.
试题解析：(Ⅰ)因为
由于，有即，
所以
(Ⅱ)由得，
故，
所以.
由(Ⅰ)得，
又因为，所以，
综上，
考点：函数的单调性与最值、分段函数.
数学（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
2.已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则
∥l ∥n ⊥l ⊥n
3.函数y=sx2的图象是
4.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
A. B. C. D.
5.已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若，则
A. B.
C. D.
6.已知函数f（x）=x2+bx，则"b<0"是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知函数满足：且.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8.如图，点列分别在某锐角的两边上，且
，
.
(P≠Q表示点P与Q不重合)
若，为的面积，则
A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
9.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是2,体积是3.
10.已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.
11. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是2，体积是3.
12．设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，x∈R，则实数a=_____，b=______．
13．设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|P+|P的取值范围是_______．
14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．
15．已知平面向量a，b，=1，=2，a・b=1．若e为平面单位向量，则|a・+|b・的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．
17.（本题满分15分）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（I）求通项公式；
（II）求数列{}的前项和.
18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（I）求证：BF⊥平面ACFD；
（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
19.（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于-1.
（I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
20.（本题满分15分）设函数=，.证明：
（I）；
（II）.
数学（文科）
一、选择题
1.【答案】C
2. 【答案】C
3. 【答案】D
4.【答案】B
5. 【答案】D
6. 【答案】A
7. 【答案】B
8. 【答案】A
二、填空题
9. 【答案】80 ；40．
10.【答案】；5．
11. 【答案】；1．
12．【答案】－2；1．
13．【答案】．
14．【答案】
15．【答案】
三、解答题
16．
【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．
试题解析：（1）由正弦定理得，
故，
于是，，
又，故，所以或，
因此，（舍去）或，
所以，.
（2）由，得，，
故，，
.
考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.
【结束】
17.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．
试题解析：（1）由题意得：，则，
又当时，由，
得，
所以，数列的通项公式为.
（2）设，，.
当时，由于，故.
设数列的前项和为，则.
当时，，
所以，.
考点：等差、等比数列的基础知识.
【结束】
18.
【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．
试题解析：（1）延长相交于一点，如图所示，
因为平面平面，且，所以
平面，因此，
又因为，，，所以
为等边三角形，且为的中点，则，
所以平面.
（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，
在中，，得，
所以直线与平面所成的角的余弦值为.
考点：空间点、线、面位置关系、线面角.
【结束】
19.
【答案】（1）p=2；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.
试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.
由抛物线的第一得，即p=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,,由消去x得
，故，所以.
又直线AB的斜率为，故直线的斜率为，
从而的直线:，直线:，
所以，
设M(m,0),由A,M,N三点共线得：，
于是，经检验，m<0或m>2满足题意.
综上，点M的横坐标的取值范围是.
考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.
【结束】
20.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.
【解析】
试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到，从而得到结论；第二问，由得，进行放缩，得到，再结合第一问的结论，得到，从而得到结论.
试题解析：(Ⅰ)因为
由于，有即，
所以
(Ⅱ)由得，
故，
所以.
由(Ⅰ)得，
又因为，所以，
综上，
考点：函数的单调性与最值、分段函数.
