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2016年高考全国2卷理数试题(含答案)

2022-11-23 05:09:51


2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 
4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
   (A) (B)(C)(D)
(2)已知集合,,则
(A)(B)(C)(D)
(3)已知向量,且,则m=
(A)-8    (B)-6    (C)6   (D)8
(4)圆的圆心到直线 的距离为1,则a=
(A)     (B)   (C)  (D)2
(5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

(A)24  (B)18  (C)12  (D)9
(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π  (B)24π  (C)28π  (D)32π
(7)若将函数y=2s 2x的图像向左平移个单位长度,则评议后图象的对称轴为
(A)x=- (k∈Z)  (B)x=+ (k∈Z)  (C)x=- (k∈Z)  (D)x=+ (k∈Z)
(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=
      
(A)7  (B)12  (C)17  (D)34
(9)若cos(-α)= ,则s 2α=
(A)  (B)  (C)-  (D)-

(10)从区间随机抽取个数,,...,,,,...,,构成n个数对,,...,,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为
(A)       (B)     (C)  (D)

(11)已知F1,F2是双曲线E的左,右焦点,点M在E上,M F1与 轴垂直,s ,则E的离心率为

(A)      (B)   (C)     (D)2

(12)已知函数满足,若函数与图像的交点为 则 
(A)0     (B)m       (C)       (D)

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
 (13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=   .
 (14)α、β是两个平面,m、n是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
(2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
(3)如果α∥β,mα,那么m∥β.  
(4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有        .(填写所有正确命题的编号)
(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:"我与乙的卡片上相同的数字不是2",乙看了丙的卡片后说:"我与丙的卡片上相同的数字不是1",丙说:"我的卡片上的数字之和不是5",则甲的卡片上的数字是           。
(16)若直线y=kx+b是曲线y=x+2的切线,也是曲线y=(x+2)的切线,则b=           。

             




三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本题满分12分)
为等差数列的前n项和,且记,其中表示不超过x的最大整数,如.
(I)求;
(II)求数列的前1 000项和.
18.(本题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 (I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置,.

 
(I)证明:平面ABCD;
(II)求二面角的正弦值.


20. (本小题满分12分)
已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当t=4,时,求△N的面积;
(II)当时,求k的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
(I)讨论函数 的单调性,并证明当 >0时, 
(II)证明:当 时,函数 有最小值.设g(x)的最小值为,求函数 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 

(22)(本小题满分10分)选修4-1:集合证明选讲
如图,在正方形ABCD,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(I) 证明:B,C,E,F四点共圆;
(II)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.        



(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. 
(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(II)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,OABO=,求l的斜率。
(24)(本小题满分10分),选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)= Ox-O+Ox+O,M为不等式f(x) <2的解集.
(I)求M;
(II)证明:当a,b∈M时,Oa+bO<O1+abO。








2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
  一.选择题:
(1)【答案】A
(2)【答案】C
(3)【答案】D
(4)【答案】A
(5)【答案】B
(6)【答案】C
(7)【答案】B
(8)【答案】C
(9)【答案】D
(10)【答案】C
(11)【答案】A
(12)【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题
(13)【答案】
(14) 【答案】②③④
(15)【答案】1和3
(16)【答案】
三.解答题
17.(本题满分12分)
【答案】(Ⅰ),, ;(Ⅱ)1893.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求公差、通项,再根据已知条件求;(Ⅱ)用分段函数表示,再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和.
试题解析:(Ⅰ)设的公差为,据已知有,解得
所以的通项公式为

(Ⅱ)因为
所以数列的前项和为
考点:等差数列的的性质,前项和公式,对数的运算.
【结束】
18.(本题满分12分)
【答案】(Ⅰ)根据互斥事件的概率公式求解;(Ⅱ)由条件概率公式求解;(Ⅲ)记续保人本年度的保费为,求的分布列为,在根据期望公式求解..
【解析】
试题分析:
试题解析:(Ⅰ)设表示事件:"一续保人本年度的保费高于基本保费",则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1,故
(Ⅱ)设表示事件:"一续保人本年度的保费比基本保费高出",则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3,故
又,故
因此所求概率为
 (Ⅲ)记续保人本年度的保费为,则的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
考点: 条件概率,随机变量的分布列、期望.
【结束】
19.(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证,再证,最后证;(Ⅱ)用向量法求解.
试题解析:(I)由已知得,,又由得,故.
因此,从而.由,得.
由得.所以,.
于是,,
故.
又,而,
所以.

(II)如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.设是平面的法向量,则,即,所以可以取.设是平面的法向量,则,即,所以可以取.于是, .因此二面角的正弦值是.
考点:线面垂直的判定、二面角. 
【结束】
20.(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求直线的方程,再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ)设,,将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去,用表示,从而表示,同理用表示,再由求.
试题解析:(I)设,则由题意知,当时,的方程为,.
由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或,所以.
因此的面积.
(II)由题意,,.
将直线的方程代入得.
由得,故.
由题设,直线的方程为,故同理可得,
由得,即.
当时上式不成立,
因此.等价于,
即.由此得,或,解得.
因此的取值范围是.
考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 
【结束】
(21)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求定义域,用导数法求函数的单调性,当时,证明结论;(Ⅱ)用导数法求函数的最值,在构造新函数,又用导数法求解.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为.

且仅当时,,所以在单调递增,
因此当时,
所以
(II)
由(I)知,单调递增,对任意
因此,存在唯一使得即,
当时,单调递减;
当时,单调递增.
因此在处取得最小值,最小值为

于是,由单调递增
所以,由得
因为单调递增,对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上,当时,有,的值域是
考点: 函数的单调性、极值与最值.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证再证四点共圆;(Ⅱ)证明四边形的面积是面积的2倍.
试题解析:(I)因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
(II)由四点共圆,知,连结,
由为斜边的中点,知,故
因此四边形的面积是面积的2倍,即


考点: 三角形相似、全等,四点共圆
【结束】
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(I)利用,可得C的极坐标方程;(II)先将直线的参数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得的斜率.
试题解析:(I)由可得的极坐标方程
(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得,
所以的斜率为或.
考点:圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式.
【结束】
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:(I)先去掉绝对值,再分,和三种情况解不等式,即可得;(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当,时,.
试题解析:(I)
当时,由得解得;
当时, ;
当时,由得解得.
所以的解集.
(II)由(I)知,当时,,从而

因此
考点:绝对值不等式,不等式的证明. 
【结束】