级数求和法在化学解题中的应用

数学作为一门基础理论课对于多数学生来说是较为重视的，然而作为一种研究问题的工具，许多学生并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学方法对于学习化学知识及其解决化学问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决化学问题。其实，许多化学理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获。本文就“级数求和”在化学中的应用问题略作阐述，供参考。
　　
　　算术级数、几何级数的求和是两种基本的级数求和问题，它们在化学中对于某些规律和结论的推导及计算题的求解具有极妙的用途，例举如下：
　　
　　一、算术级数的应用
　　
　　原子结构理论中的一条重要结论：最大容量原理——原子核外第n主能级层中最多容纳的电子数不超过“2n2”。该结论的推导法有多种，然而，算术级数求和法在此结论的推导上具有独到之处，导法如下：
　　
　　令n为主能级层的层序数
　　
　　∵第n主能级层内的电子亚层总数等于该主能级层的层序数
　　
　　且各电子亚层内的原子轨道数＝2×亚层序数－1
　　
　　∴第n主能级层内具有的原子轨道数等于各亚层轨道数之和：
　　
　　1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＋…
　　
　　又∵每个原子轨道内最多可容纳两个自旋相反的电子
　　
　　∴第n主能级层内最多可容纳的电子数等于各电子亚层内可容纳的电子数之和，即有：
　　
　　2＋6＋10＋14＋…＋2(2n－1)＋…
　　
　　显然，上式为一算术级数
　　
　　且：首项a1＝2公差d＝4通项an＝4n－2
　　
　　故前n项之和为：
　　
　　即：第n主能级层内最多容纳的电子数为“2n2”。（推导毕）
　　
　　可见，最大容量原理的上述导出，使其建立在严密的数理基础上，对原子核外电子排布规律的理解和掌握无疑具有积极的作用。
　　
　　二、几何级数的应用
　　
　　例题将NO2气和O2气以2∶1的体积比混和充满一支试管中，然后倒立于水里。待充分反应后，试管中仍有部分气体存在。问该剩余气体是何物？试管中剩余气体占试管容积的百分之几？
　　
　　解法分析：
　　
　　NO2、O2、水三者共存时有反应：
　　
　　3NO2+H2O===2HNO3+NO
　　
　　2NO+O2===2NO2
　　
　　可知，混和气体在与水充分接触时，其中NO2被水吸收的同时又产生NO，NO又会很快与O2化合成NO2，NO2又会继续与水作用……。显然，以上两步反应发生循环过程，每完成一轮循环周期便消耗部分混和气体。循环若干周期后，则各周期消耗气体（NO2或O2）的量便构成一数列。当O2过量时，反应周而复始，直至无穷，NO2剩余量的极限为“0”，则气体消耗量所构成的数列形成一个无穷递减数列（即所得数列收敛），而消耗气体的总量则为该数列
　　
　　解：令试管的容积为V，则试管中NO2和O2气的量分别为(2/3)V、(1/3)V。
　　
　　据反应方程式可知，体系中各物质间量的关系及每轮循环中各物质体积的变化为：
　　
　　由以上若干循环周期中各物质体积的改变所构成的数列可得：
　　
　　消耗O2气的总量为：
　　
　　消耗NO2气的总量为（实际消耗量等于起始消耗量与周尾生成量之差）：
　　
　　显然，式（1）和式（2）均为几何级数，且
　　
　　由于：
　　
　　即任一轮循环反应周期中，消耗O2气和NO2气的体积之比为1∶4，而反应起始状态时，有：
　　
　　显然原混合气体中O2过量，反应呈无限循环，且式（1）和式（2）均为无穷递减几何级数。故有：
　　
　　消耗O2气的总量为：
　　
　　消耗NO2气的总量为：
　　
　　则剩余气体（O2）占试管容积的百分比为：
　　
　　答：充分反应后试管中剩余O2气，且占试管容积的16.7%。
　　
　　此外，上述解法中消耗O2气（或NO2）的总量也可用下法计算，即先求其前n项和，再求其极限。
　　
　　级数式（1）的前n项和为：
　　
　　由于式（1）为无穷递减级数，且级数具有收敛性（q＜1），故：
　　
　　显然其计算结果与上述解法一致。
　　
　　三、算术·几何级数的应用
　　
　　例题比色分析中配制得硫酸铜标准系列溶液的浓度（单位mol/L）依次为：0.3，0.5，0.7，0.9，……。若将其依次按1∶2∶4∶8∶……∶2n－1的体积比使前六种标准液混和，求混和溶液的浓度。
　　
　　解：令溶液的单位体积为V，则混和前各标准液的体积分别为：
　　
　　V，2V，4V，8V，…，2n－1V，…
　　
　　混和前各标准液中溶质的物质的量依次为：
　　
　　0.3×V，0.5×2V，0.7×4V，0.9×8V，…，[0.3+(n-1)×0.2]×2n－1V，…，
　　
　　据溶液混和的浓度求解法则：
　　
　　有：
　　
　　因V为一常数，故得：
　　
　　显然，上式左边为“a＝0.3，d＝0.2，q＝2”的“算术·几何级数”；而式右边为“a1＝1，q＝2”的“几何级数”。
　　
　　据“算术·几何级数”的前n项和公式，有：
　　
　　据“几何级数”的前n项和公式，有：
　　
　　即有：63C混＝70.5
　　
　　解得：C混＝1.12(mol/L)
　　
　　答：混和溶液的浓度为1.12mol/L。
　　
　　综上级数在化学解题中的应用实例可见，数学方法的灵活运用为人们开辟了诸多的解题途径，虽然有些解法思路可能会使解法途径变得较复杂些，但作为一种数学方法，可培养学生应用数学工具分析、解决化学问题的能力，扩充解题思路和开发智力无疑有其益处。