中考数学高频热点题型解析之规律探究题

2019-07-10 06:08:50

在我省近年的中考数学试卷中,有一类试题被反复考查,这就是规律探究题。在2007年至2011年的近五年中考中都无一例外进行了考查。其中2007年的第21题(分值12分)、2008年的第18题(分值8分)、2009年的第17题(分值8分)、2010年的第9题(分值4分)、2011年的第18题(分值8分)都属于此类问题。由此我们不难发现这种问题是不折不扣的高频热点题型。
  
  规律探究题一般是在特定的背景、情境或某些条件下(可以是关系式、有规律的数或式、特定的生活情景、流程图、某种特征的图形、图案或图表),通过认真分析,仔细观察,提取相关的数据、信息,进行适当的分析、综合归纳,作出大胆猜想,得出结论,进而加以验证或解决问题的数学探索题。其解题思维过程是:从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论。由于规律探究题的命题背景极其丰富多样,解题过程中一般需要创造性地进行思考,所以同学们在求解时觉得较难把握。下面我们通过近年的典型试题例析这种试题的解题方法,希望对同学们有所帮助。
  
  例1.(2009年第17题)观察下列等式:
  
  (1)猜想并写出第n个等式;
  
  (2)证明你写出的等式的正确性。
  
  【分析】(1)通过观察,可以发现这一组等式结构是相同的,显然这种不变的结构在猜想的第n个等式中必须得到保留;而变化的部分呈现一种序列的变化规律,这种变化规律一般与正整数序列(有时是自然数序列或相关序列)相关,因此我们要做的就是把这种规律用含n的式子加以表示即可。
  
  (2)要证明一个猜想的等式成立,只要证明其左边等于右边即可。因此可以选择从待证等式的一边出发经过合理的变形得出另一边(有时也可能是分别对两边进行合理的变形,得出都等于相同的中间量)。
  
  【解】(1)猜想:(n为正整数)
  
  例2.(2010年第9题)下面两个多位数1248624……、6248624……,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位上,若积为两位数,则将其个位数字写在第2位,对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是()
  
  A)495B)497C)501D)503
  
  【分析】要得到这个多位数前100位的所有数字之和,必须知道各个数位上的数字的排列规律。因此必须按照这种多位数的构造方法进行必要的尝试,进而可以发现这个数是36248624……也就是说,从左起第2位数字起按6、2、4、8进行循环排列,所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4=495。故选A。这个问题中呈现的规律是一个周期性的变化规律,解题时要通过操作(计算,推理)直到得出特定对象重复出现,进而找出“循环节”,从而完成对问题的求解。
  
  【解】A
  
  例3.(2011年第18题)在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位,其行走路线如下图所示。
  
  (1)填写下列各点的坐标:A4(,
  
  )、A8(,)、
  
  A12(,);
  
  (2)写出点A4n的坐标(n是正整数);
  
  (3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向。
  
  【分析】(1)不难通过读图,在平面直角坐标系中直接找出点A4、A8、A12的坐标;
  
  (2)从(1)的答案结合图形的排列,不难发现蕴含的序列变化规律。值得一提的是本题中既表现出明显的序列变化规律,在局部又存在一定的周期变化规律,要考虑周全。
  
  (3)第(3)小题是第(2)小题中的周期变化规律的运用,在局部总有从A4n向上移动1个单位到A4n+1再向右移动1个单位到A4n+2再向下移动1个单位到A4n+3的规律。由此点A100到点A101的移动方向是向上。
  
  【解】⑴A4(2,0)A8(4,0)A12(6,0);
  
  ⑵A4n(2n,0);
  
  ⑶向上
  
  综上,规律探究题要求我们能在一定的背景或特定的条件(已知条件或所提供的若干个特例)下,通过观察、分析、比较、概括、归纳和猜想,从中发现有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论和数学本质的内容,进而利用这个规律或结论进一步解决相关的实际问题。一般的解题思路是通过观察,进而寻找规律,猜想出相关的结论并加以验证。可总结为“认真观察(变化的与不变的)、大胆猜想(序列变化规律还是周期变化规律)、仔细验证(猜想的规律是否正确)”。(来源:北方网)