高中数学对称问题分类探析

2019-10-02 06:17:59

谭玉石
  
  对称问题是高中数学的重要内容之一,在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题,为使对称问题的知识系统化,本文特作以下归纳。
  
  一、点关于已知点或已知直线对称点问题
  
  1、设点P(x,y)关于点(a,b)对称点为P′(x′,y′),
  
  x′=2a-x
  
  由中点坐标公式可得:y′=2b-y
  
  2、点P(x,y)关于直线L:Ax+By+C=O的对称点为
  
  x′=x-(Ax+By+C)
  
  P′(x′,y′)则
  
  y′=y-(AX+BY+C)
  
  事实上:PP′⊥L及PP′的中点在直线L上,可得:Ax′+By′=-Ax-By-2C
  
  解此方程组可得结论。
  
  (-)=-1(B≠0)
  
  特别地,点P(x,y)关于
  
  1、x轴和y轴的对称点分别为(x,-y)和(-x,y)
  
  2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x,y)和(x,2a-y)
  
  3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y,x)和(-y,-x)
  
  例1光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射,再经过y轴反射,反射光线经过点B(1,5),求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
  
  解:如图,由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点
  
  A′(5,0),B关于y轴对称点B′为(-1,5),直线A′B′的方程为5x+6y-25=0
  
  `C(0,)
  
  `直线BC的方程为:5x-6y+25=0
  
  二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题
  
  求已知曲线F(x,y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时,只须将曲线F(x,y)=O上任意一点(x,y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x,y)=0中相应的作称即得,由此我们得出以下结论。
  
  1、曲线F(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x,2b-y)=0
  
  2、曲线F(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C),y-(Ax+By+C))=0
  
  特别地,曲线F(x,y)=0关于
  
  (1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x,-y)和F(-x,y)=0
  
  (2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x,y)=0和F(x,2a-y)=0
  
  (3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y,x)=0和F(-y,-x)=0
  
  除此以外还有以下两个结论:对函数y=f(x)的图象而言,去掉y轴左边图象,保留y轴右边的图象,并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象;保留x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
  
  例2(全国高考试题)设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1:
  
  1)写出曲线C1的方程
  
  2)证明曲线C与C1关于点A(,)对称。
  
  (1)解知C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s
  
  (2)证明在曲线C上任取一点B(a,b),设B1(a1,b1)是B关于A的对称点,由a=t-a1,b=s-b1,代入C的方程得:
  
  s-b1=(t-a1)3-(t-a1)
  
  `b1=(a1-t)3-(a1-t)+s
  
  `B1(a1,b1)满足C1的方程
  
  `B1在曲线C1上,反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上
  
  `曲线C和C1关于a对称
  
  我们用前面的结论来证:点P(x,y)关于A的对称点为P1(t-x,s-y),为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程,得:s-y=(t-x)3-(t-x)
  
  `y=(x-t)3-(x-t)+s
  
  此即为C1的方程,`C关于A的对称曲线即为C1。